Usage de jeux de ficelle pour l'enseignement d'adresse mathématique Partie 5: Théorie du Berceau 3

D'une certaine manière, les rotations de boucle sont
aussi chirales, puisque qu'elles peuvent se produire
dans les deux directions: soit vers vous ou soit loin de
vous. Dans certains cas, les motifs qui en résultent
sont considérablement différents. Dans mon système
de notation,  +1/2 indique un demi-tour loin de vous,
tandis que -1/2 indique un demi-tour vers vous. De
même, +2/2 indique un tour entier loin de vous,
 tandis que -2/2 indique un demi-tour vers vous;
0 est employé pour indiquer qu'il n'y a pas de rotation.

Des tours entiers sont facile à effectuer en traçant
un cercle avec le bout de votre doigt, en évitant les
doigts adjacents. Les demi-tours sont effectués en
employant deux transferts (une méthode que je nomme
"roulage"). Par exemple, pour effectuer une rotation

a +1/2 de la boucle 2:

1 accroche par en-bas 2.
2 accroche par en-haut 1 supérieure.

Pour effectuer une rotation
a -1/2 de la boucle 2:

1 accroche par en-haut 2.
2 accroche par en-bas 1 supérieure.

Le roulage évite la gaucherie de l'emploi de la main
opposée pour enlever une boucle d'un doigt, la tourner,
et la remettre sur ce doigt. Des tours complets peuvent
être aussi effectués par roulage, (c'est-à-dire, en employant
quatre transferts en combinant deux demi-tours).

Une matrice pour explorer la chiralité

Pour classer en tableau le résultat de toutes les
cinq rotations (0, +1/2, -1/2, +2/2, -2/2) appliquées
à chacun des quatre métiers à tisser, on a besoin
d'une matrice de 4 X 5.

Toutes les figures sont montrées sur la page suivante.

Les résultats de la matrice: observation

Chaque rangée de la matrice révèle une tendance
différente:

Première rangée: pas de rotation de la boucle 2
Lorsqu'aucune rotation de la boucle 2 n'est
introduite, chaque berceau donne un résultat
clairement différent.

Seconde rangée: rotation de la boucle 2 +1/2
Lorsqu'une  rotation de la boucle 2 +1/2  est
introduite, les figures employant le Premier Berceau et
le berceau ADN gauche donnent des figures similaires.
 Les figures employant le Premier Berceau G et
le berceau ADN droit sont aussi similaires.
 
Troisième rangée: rotation de la boucle 2 -1/2
Lorsqu'une  rotation de la boucle 2 -1/2  est
introduite,  les figures employant le Premier Berceau et
le berceau ADN droit  donnent des figures similaires.
 Les figures employant le Premier Berceau G et
le berceau ADN gauche sont aussi similaires. Dans
ce cas, les similarités sont déterminées par la main
qui agit en premier dans la formation du berceau.

Quatrième rangée: rotation de la boucle 2 +2/2
Toutes ces figures sont essentiellement les mêmes.

Cinquième rangée: rotation de la boucle 2 -2/2
Lorsqu'une  rotation de la boucle 2 -2/2  est
introduite,  les figures employant le Premier Berceau et
le berceau ADN droit  donnent des figures similaires.
 Les figures employant le Premier Berceau G et
le berceau ADN gauche sont aussi similaires. Ce
cas ressemble au résultat rotation de la boucle 2 -1/2.

En résumé, nous pensons souvent au Premier Berceau,
Premier Berceau G, l'ADN gauche, et l'ADN droit
comme à des berceaux à 3 boucles fonctionnant de
manière similaire. En fait, pour la majorité des figures
traditionnelles à 3 boucles, cette affirmation est vrai:
les motifs qui en résultent se ressemblent. En effet, si
aucun échange de boucle n'est introduit, entre le Fixage
du Bas et le Nettoyage du Haut, dans notre figure
 canonique, les quatre berceaux donnent le même motif,
(mis à part des différences insignifiantes dans les
croisement de ficelles). Mais si un échange de boucle est
introduit, entre les deux mouvements, les différences dans
le motif final deviennent apparentes.

Pourquoi cela se passe-t-il? Cela est du au fait que
l'échange de boucle a une chiralité: soit la boucle
droite passe à travers la boucle gauche, ou vice-versa.
Les quatre berceaux sont de même chiraux: en
formant le Premier Berceau ou le berceau ADN droit,
la main droite agit en premier, et avec le Premier
Berceau G ou le berceau ADN gauche, la main gauche
 agit en premier. Lorsque plus d'un évènement chiral
se produit dans une séquence de tissage, les motifs qui
en résultent peuvent être différés, cela dépend de la
chiralité (droit vs. gauche) qui a été choisie à chaque
étape.

Il est important de noter que dans l'expérimentation
ci-dessus, la chiralité de l'échange de boucle était fixée
(toujours la boucle droite passe à travers la boucle gauche).
Par conséquent, deux enroulements se produisent au centre
du motif "Premier Berceau, pas de rotation de la boucle 2"
(fig. 6), et on ne voit pas d'enroulement au centre du motif
"Premier Berceau G, pas de rotation de la boucle 2" (fig. 7).
Mais si la chiralité de la boucle échangée est inversée,
(c'est-à-dire, la boucle gauche passe à travers la boucle
 droite), alors on obtient des résultats opposés: la figure
"Premier Berceau G, pas de rotation de la boucle 2" a
deux enroulements au centre, et la figure "Premier Berceau,
 pas de rotation de la boucle 2" n'a pas d'enroulement. De
même, toutes les autres figures de la matrice dont
affectées de façon similaire.

SUITE
Expérimenter avec les figures de la matrice